8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

1.    Ένα παλλόμενο διαπασών που παράγει ήχο συχνότητας  1kHz απομακρύνεται από έναν ακίνητο ακροατή και πλησιάζει κάθετα σε ένα ανακλαστικό τοίχο με ταχύτητα 20 m/s. Ζητούνται:

α. Η συχνότητα ήχου αντιλαμβάνεται ο ακροατής απευθείας από το διαπασών.

β. Η συχνότητα ήχου αντιλαμβάνεται ο ακροατής από ανάκλαση στον τοίχο.

γ. Η συχνότητα του διακροτήματος; Είναι τούτο το διακρότητα ακουστό;

Διακροτήμα με συχνότητες μεγαλύτερες των 6-7 Hz   δεν είναι ακουστά. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u_ηχ= 340 m/s.

2.       Μια μοτοσικλέτα περνά μπροστά από περιπολικό με σταθερή ταχύτητα που παραβιάζει το εκεί όριο. Το περιπολικό ξεκινά την καταδίωξη κινούμενο με σταθερή ταχύτητα την στιγμή που η μοτοσικλέτα το έχει προσπεράσει κατά 31 m και ταυτόχρονα ενεργοποιεί την σειρήνα του. Μόλις το περιπολικό φτάνει τη μοτοσικλέτα σταματά να ηχεί η σειρήνα.

Ο οδηγός του περιπολικού άκουγε τη σειρήνα επί 3,1 s ενώ οι επιβάτες της μοτοσικλέτας επί 3 s.

Ποια ήταν η ταχύτητα κάθε οχήματος;

3.       Τα δελφίνια χρησιμοποιούν σύστημα εκπομπής και λήψης υπερήχων για να εντοπίζουν την τροφή τους. Ένα ακίνητο δελφίνι παρακολουθεί ένα κοπάδι ψάρια που το πλησιάζουν με ταχύτητα u_A. Το δελφίνι εκπέμπει έναν υπέρηχο συχνότητας fs=78,396 kHz, ο οποίος αφού ανακλαστεί στο κινούμενο κοπάδι ψαριών, ανιχνεύεται από το δελφίνι ως υπέρηχος συχνότητας f₂=79,524 kHz. Τα ψάρια αντιλαμβάνονται το δελφίνι τη χρονική στιγμή t=0 και αντιστρέφοντας αμέσως την ταχύτητά τους (χωρίς να αλλάξουν το μέτρο της) αρχίζουν να απομακρύνονται από αυτό. Το δελφίνι παραμένει ακίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή t=3 s και στη συνέχεια αρχίζει να κυνηγά το κοπάδι κινούμενο με σταθερή ταχύτητα u_Δ=20 m/s. Να βρεθούν:

α. η ταχύτητα u_A των ψαριών.

β. η συχνότητα του υπερήχου που ανιχνεύει το ακίνητο δελφίνι καθώς τα ψάρια απομακρύνονται από αυτό.

γ. ποια χρονική στιγμή το δελφίνι θα φτάσει στο κοπάδι ψαριών αν τα ψάρια πλησίασαν το δελφίνι σε απόσταση d=120 mκαι πόση απόσταση θα έχει διανύσει το κοπάδι αλλά και το δελφίνι έως τότε.

Δίνεται η ταχύτητα των υπέρηχων στο νερό u_ηχ=1400 m/s.

4.       Μια νυχτερίδα κινείται με ταχύτητα 5 m/s κυνηγώντας ένα ιπτάμενο έντομο το οποίο κινείται στην ίδια κατεύθυνση με αυτήν. Η νυχτερίδα εκπέμπει ήχο με συχνότητα 40 kHz και αντιλαμβάνεται από ανάκλαση στο έντομο ήχο με συχνότητα 40,4 kΗz. Με τι ταχύτητα κινείται το έντομο; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ=340 m/s.

5.       Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται στα νοσοκομεία για τη μέτρηση της ταχύτητας της ροής του αίματος με εκπομπή υπερήχων συχνότητας f και ανάκλασή τους από τα ερυθρά αιμοσφαίρια.  Η ταχύτητα των υπερήχων στο αίμα είναι v.  Αν τα ερυθρά αιμοσφαίρια κινούνται κατά μήκος μιας αρτηρίας απομακρυνόμενα από τον πομπό των υπερήχων και η μέση διαφορά συχνοτήτων μεταξύ   των υπερήχων που επιστρέφουν και των υπερήχων που εκπέμπονται είναι Δf,  ποια είναι η ταχύτητα των ερυθρών αιμοσφαιρίων; Απαντήστε συναρτήσει των  Δf, f, και  v.

6.       Ένα περιπολικό που στέκεται ακίνητο στην άκρη του δρόμου έχει σειρήνα που εκπέμπει κύματα συχνότητας fs=510 Hz. Ένας ποδηλάτης (παρατηρητής Α) που βρίσκεται ακίνητος ακριβώς δίπλα στο περιπολικό ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με α=1 m/s² απομακρυνόμενος από αυτό. Την ίδια χρονική στιγμή το περιπολικό ενεργοποιεί τη σειρήνα του. Ένας αθλητής (παρατηρητής Β) που κινείται με σταθερή ταχύτητα u_B πλησιάζοντας το περιπολικό αντιλαμβάνεται ότι η συχνότητα του ήχου της σειρήνας είναι f_B. Τη χρονική στιγμή t=18s ο ποδηλάτης αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f_A που διαφέρει από την f_B κατά 36 Hz.

α. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κινείται ο αθλητής καθώς και η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται.

β. Να βρεθεί η συχνότητα f_A του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης σε συνάρτηση με το χρόνο

γ. Να γίνει σε αριθμημένους άξονες το διάγραμμα της συχνότητας fA του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0≤t≤18 s.

δ. Να βρεθεί αριθμός των μεγίστων που άκουσε συνολικά ο ποδηλάτης στο χρονικό διάστημα 0≤t≤18 s .

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u_ηχ=340 m/s.

7. Ένας ακίνητος παρατηρητής ενώ βρίσκεται στο μέσο Μ μιας γέφυρας ΑΒ μήκους L αντιλαμβάνεται σε απόσταση d, από το άκρο Α της γέφυρας, ένα τρένο να πλησιάζει με ταχύτητα u_o. Ταυτόχρονα ακούει τον ήχο της σειρήνας του τρένου η οποία έχει συχνότητα fs=300 Hz, ενώ αυτός αντιλαμβάνεται τον ήχο της με συχνότητα f_A=340 Hz. Ο παρατηρητής αρχίζει αμέσως να τρέχει (χρονική στιγμή t=0) με σταθερή ταχύτητα u_A=8 m/s προς το άκρο Β της γέφυρας και χρειάζεται χρόνο t_A να φτάσει σε αυτό.

Ο μηχανοδηγός από την απόσταση d που βρίσκεται ενεργοποιεί το σύστημα φρένων του τρένου, δίνει σε αυτό σταθερή επιτάχυνση α=-0,5 m/s² και ακινητοποιεί το τρένο στο άκρο Β της γέφυρας μετά από χρονικό διάστημα t_Α. Να υπολογίσετε:

α. την αρχική ταχύτητα του τρένου.

β. το μήκος L της γέφυρας καθώς και τη συνολική απόσταση που διέτρεξε το τρένο μέχρι να σταματήσει.

γ. τις συναρτήσεις που δίνουν τις θέσεις του τρένου και του παρατηρητή σε σχέση με το χρόνο για όλο το χρονικό διάστημα της επιβραδυνόμενης κίνησης του τρένου. Να θεωρήσετε x=0 τη θέση του τρένου τη χρονική στιγμή t=0. Να σχεδιάσετε τις συναρτήσεις σε κοινό ορθογώνιο αριθμημένο σύστημα αξόνων.

δ. ποια ήταν η τελευταία συχνότητα που αντιλήφθηκε ο παρατηρητής πριν τον προσπεράσει το τρένο. (το αποτέλεσμα να δοθεί με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου).

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα u_ηχ=340 m/s.

8.            Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Ο συνοδηγός του αυτοκινήτου κρατά στο χέρι του ένα ευαίσθητο μικρόφωνο, με την βοήθεια του οποίου μπορεί να μετρά τη συχνότητα του ήχου. Μια πηγή s αρμονικού ήχου, απέχει κατά (ΚΟ)= d=30m από τον δρόμο και κάποια στιγμή εκπέμπει έναν απλό ήχο, ορισμένης διάρκειας. Το μικρόφωνο αρχίζει να καταμετρά τον ήχο τη στιγμή, που απέχει απόσταση  (ΒΟ)=d₁= 40m από το Ο με αρχική ένδειξη 7.120Ηz, ενώ η ένδειξη αυτή ελαττώνεται, φτάνοντας σε ελάχιστη τιμή 6.800Ηz, τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Ο, όπου και σταματά να ακούγεται ήχος.

α.  Να ερμηνεύσετε την μείωση της συχνότητας του ήχου που μετράει ο συνοδηγός.

β.  Ποια η συχνότητα του ήχου που παράγει η πηγή s;

γ.  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου.

δ.  Να βρεθεί ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτέλεσε η πηγή του ήχου.

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s.